Electrodynamique des systèmes simples - Lab. Kastler Brossel - Génération d’états de Fock par mesure QND et "collapse" de la fonction d’onde.

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Cavity quantum electrodynamics - Laboratoire Kastler Brossel

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Génération d’états de Fock par mesure QND et "collapse" de la fonction d’onde.

Nous avons utilisé l’interaction dispersive entre atome et champ pour réaliser une mesure sans démolition quantique (QND) du nombre de photons stockés dans la cavité, jusqu’à 7. L’information est progressivement extraite du champ et la projection quantique de son état intervient pas par pas.Cette projection se manifeste par des corrélations entre mesures successives. L’amortissement du champ de la cavité provoque une série de sauts quantiques correspondant à la perte des photons, un par un. Cette expérience illustre tous les postulats de la mesure quantique. Elle permet aussi de préparer des états très non classiques du rayonnement.

Principle de l’expérience

Nous avons réalisé [1] l’analogue de l’expérience de pensée présentée dans la partie supérieure de la figure ci-desus. Nous insérons dans une ’boîte à photons’ une horloge transparente dont le rythme du tic-tac dépend du nombre de photons. La position finale de l’aiguille mesure donc le nombre de photons. En termes techniques, la boîte est notre cavité supraconductrice et l’horloge est un unique atome de Rydberg.

Quand atome et cavité ne sont pas à resonance, ils ne peuvent échanger d’énergie. Leur interaction mutuelle ne change pas le nombre de photons (elle est sans démolition quantique ou QND). Néanmoins, les niveaux atomiques sont déplacés par le champ. Ce déplacement conmprend un terme constant, le déplacement de Lamb, correspondant à l’effet des fluctuations du vide sur l’atome. Il comprend aussi un déplacement lumineux, proportionnel au nombre de photons. Une cohérence atomique entre les niveaux $e$ et $g$ évolue, dans une représentation d’interaction convenable, à une vitesse proportionnelle au nombre de photons.

Une première impulsion de Ramsey dans la zone $R_1$ prépare une superposition de $e$ et $g$ (représentée sur la sphère de Bloch de gauche). Cette superposition, pendant le transit atomique dans la cavité, subit un déphasage proportionnel au nombre de photons. La sphère de Bloch du centre représente les positions finales du vecteur de Bloch correspondant à un nombre de photons $n$ variant de 0 à 8, le déphasage par photon étant réglé à $\pi/4$ .

Les états atomiques correspondant à des nombres de photons différents ne sont donc pas orthogonaux. La détection d’un seul atome (après une impulsion $\pi/2$ dans $R_2$ , qui transforme l’un des états possibles en $e$ — voir sphère de droite) n’apporte pas une information suffisante pour mesurer le nombre de photons.

Notons que les états finals sont orthogonaux dans le cas simple où la cavité contient 0 ou 1 photon, avec un déphasage de $\pi$ par photon. Un seul atome suffit alors en principe pour déterminer le nombre de photons. C’est la situation dans une autre expérience, où nous avons observé la naissance, la vie et la mort de photons individuels.

Dans le cas plus général représenté ci-dessus, un seul atome n’apporte pas une information suffisante. Cela résulte d’un des théorème d’interdiction de la mécanique quantique : il est impossible de déterminer l’état arbitraire d’un système à deux niveaux quand on ne dispose que d’une copie. Plus simplement, en termes d’information classique, il est impossible de compter jusqu’à 7 avec un seul bit. Nous devons pour cela envoyer plusieurs atomes dans la cavité et exploiter au mieux l’information qu’ils fournissent.

Décimation du nombre de photons

Nous envoyons donc dans la cavité une série d’atomes. Chacun apporte une information partielle sur l’état du champ. Cette information change notre connaissance du champ et donc la distribution du nombre de photons que nous pouvons inférer. Cette acquisition d’information peut être représetnée par la loi de Bayes des probabilités conditionnelles classiques.

La distribution $p(n|j)$ du nombre de photons sachant qu’un atome a été détecté dans l’état $j$ ( $j$ pour $e$ or $g$ ) est :

$p(n|j)=\frac{1}{p(j)} p(j|n) p(n)\ ,$

où $p(n)$ est la distribution du nombre de photons avant la mesure, $p(j)$ la probabilité de détecter l’atome dans l’état $j$ et $p(j|n)$ la probabilité conditionnelle pour détecter l’atome dans $i$ sachant qu’il y a exactement $n$ photons dans la cavité.

Après l’impulsion $\pi/2$ dans $R_2$ , les états atomiques correspondant aux différents nombres de photons sont sur un même méridien de la sphère de Bloch. Pour un réglage approprié de l’interféromètre de Ramsey, l’un d’eux coïncide avec $e$ . La probabilité $p(j|n)$ de détecter l’atome dans $j$ est alors une fonction sinusoîdale du nombre de photons (en pratique, une sinusoîde avec un contraste fini).

Après chaque détection atomique, il nous faut donc multiplier la distribution inférée du nombre de photons par une sinusoîde. Cette multiplication réduit la probabilité de certains nombres de photons. Elle annulerait tout à fait celle du nombre $p$ si le contraste des franges de Ramsey était parfait et pour un réglage de la phase de l’interféromètre tel que l’atome ne soit jamais dans l’état $j$ pour $p$ photons. Les détections atomiques réalisent donc une décimation de la distribution du nombre de photons.

Après qu’un ensemble d’atomes soit passé dans la cavité, la distribution inférée, $p_f(n)$ s’écrit :

$p_f(n)=F(n)p_0(n)\ ,$

où $p_0(n)$ est la distribution reflétant notre information initiale sur le champ et $F(n)$ set une ’fonction de décimation’, produit des décimations causées par la détection de tous les atomes. On peut montrer numériquement que, même si le contraste de l’interféromètre n’est pas parfait, $F(n)$ converge rapidement vers une distribution étroite qui isole un seul nombre de photons

Puisque $F(n)$ est finalement une distribution piquée, la valeur initiale de la distribution du nombre de photons n’a aucune importance, à condition qu’elle ne s’annule pour aucun nombre de photons. Nous choisissons donc en général une distribution plate, qui reflète l’absence de toute information intiale.

Collapse progresssif de l’état du champ

Nous avons observé le collapse progressif de l’état du champ. Les atomes sont envoyés dans la cavité, à raison d’environ 5 par milliseconde. La cavité est initialement remplie d’un champ cohérent, avec un nombre moyen de photons de 3.7.

Les atomes sondes passent tous dans l’interféromètre de Ramsey. Pour une convergence plus rapide de la fonction de décimation, nous choisissons aléatoirement, pour chaque atome, la phase $\phi$ de l’interféromètre parmi 4 valeurs (telles que les états correspondant à 6, 7, 0 ou 1 photons soient envoyés par $R_2$ sur l’état $e$ ).

La figure ci dessus présente l’évolution de la fonction de décimation $F(n)$ pendant la détection de 50 atomes, pour deux réalisations différentes de l’expérience. Simple sinusoîde après le premier atome, $F$ évolue rapidement vers une distribution piquée.

Les histogramme ci-dessus présentent l’évolution de la distribution inférée du nombre de photons dans les deux mêmes réalisations de l’expérience, pour les 110 premières détections atomiques (réalisées, en moyenne, en 26 ms). L’état du champ évolue rapidement vers un état de Fock (à 5 ou 7 photons). Cette évolution révèle le collapse progressif de l’état du champ au cours de la mesure.

La figure ci-dessus donne l’histogramme du nombre moyen de photons inféré après 110 détection atomiques. Nous observons un fond (environ 20% des cas) pour lequels ce nombre n’est pas un entier. Il s’agit de réalisations pour lesquelles la convergence de la fonction de décimation n’est pas encore achevée, ou de cas où un saut quantique dû à la relaxation a interrompu la mesure. Dans tous les autres cas, le nombre de photons a bien convergé vers un entier.

La statistique des nombres de photons mesurés après convergence correspond bien à la loi de Poisson attendue (courbe bleue et points ouverts). L’excès de probabilité pour $n=0$ peut être attribué à l’ambiguité de la mesure QND. Puisque le déphasage est réglé à $\pi/4$ par photon, la mesure ne distingue pas 8 et 0, et attribue les événements où le nombre de photons est 8 au canal $n=0$ .

Sauts quantiques

Nous avons suivi l’évolution du nombre de photons mesuré. Nous envoyons une série continue d’atomes. A chaque détection, nous calculons un nombre moyen de photons en appliquant le processus de décimation, avec les 110 détections atomiques précédentes. Une des trajectoires quantiques obtenues ainsi est représentée dans la figure ci-dessus. Nous observons une convergence rapide vers l’état $n=5$ (c’est la même séquence que sur les figures précédentes).

Ensuite, nous observons un plateau, avec un nombre de photons constant. Pendant ce temps, nous détectons suffisamment d’atomes pour réaliser deux mesures complètement indépendantes du nombre de photons. La corrélation parfaite entre ces mesures est une preuve directe de la nature QND du processus.

Enfin, le nombre de photons relaxe vers zéro sous l’influence de l’amortissement de la cavité. La relaxation du champ se produit comme une suite de sauts quantiques. Comme le montre l’insert, un saut est détecté en un temps de l’ordre de 10 ms, suffisant pour assurer la convergence du processus de décimation vers une nouvelle valeur. Uen analyse détaillée de la statistique de ces sauts nous a permis de mesurer la dureé de vie des états de Fock.

[1] C. Guerlin et al, Nature, 448, 889 (2007)

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